◎實習記者 都 芃

(相關資料圖)

2024和1是量的區別，無限和2024是質的區別。由原本一個不知道是否無限的數，確定為一個有限的數，相比過去的證明結果，這次的證明在一定程度上可以說是質的飛躍。

袁嵐峰

中國科學技術大學副研究員

對于研究數論的人來說，或許存在兩個宇宙。朗道-西格爾零點存在于其中一個宇宙中，而在一個宇宙中，朗道-西格爾零點則不存在。讓他們感到困惑的在于，人類究竟處于哪個宇宙之中？

關于這個問題，美國加州大學圣塔芭芭拉分校教授、美籍華裔數學家張益唐前不久給出了他的初步答案，我們極有可能處于不存在朗道-西格爾零點的那個宇宙中。近日，在面向北京大學師生和公眾的線上學術報告會上，張益唐分享了他關于朗道-西格爾零點猜想的最新研究成果。

朗道-西格爾零點猜想的“前世今生”究竟如何？如果張益唐的最新研究成果通過驗證，對數學界將產生哪些影響？就這些問題，科技日報記者采訪了相關專家。

從素數到廣義黎曼猜想

要理解朗道-西格爾零點猜想，還要從素數開始講起。素數也稱質數，是指只能被自身和1整除的正整數。

中國科學技術大學副研究員、知名科普專家袁嵐峰向科技日報記者介紹，素數可以被理解為是構成自然數的基本單元。袁嵐峰認為：“素數有一種關乎數學本質的、奇妙且神秘的美感。”

公元前300年左右，古希臘學者歐幾里得通過十分簡潔、巧妙的方法證明了素數是無窮的。

在這個發現之后，人們又不禁發問，既然素數是無窮的，那么素數的分布是否有規律，是否可以得出一個關于素數的通項公式？這成為了此后數千年間無數偉大的數學家，尤其是數論研究者魂牽夢繞的問題。在追尋這一問題答案的過程中，誕生了如哥德巴赫猜想、孿生素數猜想、黎曼猜想等諸多舉世聞名的數學相關問題。

19世紀中葉，德國數學家黎曼在一篇論文中發表了重磅觀點，即素數分布的奧秘完全隱藏在一個特殊的函數中，這就是著名的黎曼ζ函數。使這個函數取值為0的一系列特殊點會對素數的分布規律產生決定性影響。這些點便被稱為黎曼ζ函數的非平凡零點。如果用最簡潔的語言來表述黎曼猜想，那便是黎曼ζ函數的所有非平凡零點的實部都等于1/2。如果在復平面上作圖，則這些零點都分布在實部為1/2的直線上。

黎曼猜想被提出后，為了研究等差數列上的素數分布問題，德國數學家狄利克雷又引入了狄利克雷L函數。該函數被看作是黎曼ζ函數的推廣形式。數學家們認為，狄利克雷L函數上的零點也都位于實部等于1/2的那條直線上，這便是廣義黎曼猜想。廣義黎曼猜想和黎曼猜想在數學中都具有重要價值。袁嵐峰表示，目前人們已經在假定它們成立的前提下證明了許多命題。假如能證實這兩個猜想，人類將能站上更高的平臺，看到更美麗、廣闊的數學風景。

或邁出證明“零點猜想”正確性的一大步

德國數學家西格爾和其導師朗道在對狄利克雷L函數進行研究時發現，一個異常零點可能并不存在于那條實部為1/2的直線上，而是位于非常接近1的地方。這個零點也被命名為朗道-西格爾零點。如果這個零點真的存在，那么廣義黎曼猜想將會被推翻。雖然廣義黎曼猜想目前尚未得到證明，但數學家們大多默認其正確性。因此猜測朗道-西格爾零點不存在，這就是朗道-西格爾零點猜想。而證明朗道-西格爾零點并不存在，也成了包括張益唐在內的諸多數學家的夙愿。

根據張益唐的自述，他自上世紀末便開始思考朗道-西格爾零點猜想，并在2007年時發表過一篇相關論文，但那篇論文并不完美。在今年10月中旬，張益唐在北京大學大紐約地區校友會上透露，他本質上解決了朗道-西格爾零點猜想問題，當即引發數學界轟動。在近日舉行的線上報告會正式開始前，張益唐謹慎地表示，他此次的研究成果“只是在一定范圍里部分地解決黎曼假設應該是對的。”之所以這樣說，是因為張益唐并沒有完全證明朗道-西格爾零點猜想，但已經在證明其正確性的路上邁出了一大步。

在張益唐給出的兩個證明定理中，一個定理的指數是-2024。但是，如果要完全證明朗道-西格爾零點猜想，理想情況該指數應該是-1。當報告會中有學生問道，2024可以進一步縮小到多少時，張益唐坦言：“很多步驟還可以更精細，到幾百是可以的。但如果要到1，僅用目前這個辦法是不夠的。”

袁嵐峰表示：“2024和1是量的區別，無限和2024是質的區別。由原本一個不知道是否無限的數，確定為一個有限的數，相比過去的證明結果，這次的證明在一定程度上可以說是質的飛躍。”

山東大學教授劉建亞也認為，自20世紀30年代以來，朗道-西格爾零點猜想的研究便幾乎沒有出現實質性的突破。如果此次張益唐的證明通過驗證，或將在一定程度上改寫解析數論的教科書。

將反證法用到極致且不斷創新

張益唐此次采用的論證方法是數學中經典的“矛盾證明法”，也稱為“反證法”。根據張益唐的博士生、加拿大女王大學數學與統計學博士后阮大衛的描述，張益唐首先是假設朗道-西格爾零點以弱形式存在，推導后發現這會導致狄利克雷L函數中的其他零點以非常規則的間距排列起來。但實際上，這些零點的分布并不具備這樣的規律，連續零點之間的間距是不可預測的。因此，反過來證明了朗道-西格爾零點在這個區間內不存在。袁嵐峰表示，雖然反證法已是數學中極為經典的方法，但張益唐將其應用到了極致。

反證法雖是人人都能理解的基礎方法，但這次證明的過程是難以想象的艱深。張益唐將其比喻為大海撈針，“我試了很多方法，包括變分法、積分方程等，但關鍵一步都跨不過去。后來我發現，即使撈不到這根針，我也已經把海底環境摸索清楚了，也不一定非得撈到這根針。”

袁嵐峰認為，這里說的“針”是指傳統證明方法中需要的某個數列。“以前找到這樣一個數列便能構造出某種矛盾，用反證法證明某類問題。張益唐證明孿生素數猜想的相關結果，用的就是這種方法。但這次對于朗道-西格爾零點猜想的證明，他發現這種傳統方法并不適用，無論如何都找不到這樣的一根‘針’。但他在大量研究后發現，有許多個數列都能達到同等的較弱的效果，于是他利用這個事實構造出矛盾，應用反證法解決了問題，這也就是為什么他說‘不一定非得撈到這根針’。”袁嵐峰說。

張益唐認為，經典方法是否有效，取決于能否將它用到極致。袁嵐峰表示，此前的許多數論研究都以朗道-西格爾零點不存在為前提假設，假如這次張益唐能夠在一定范圍內證明朗道-西格爾零點猜想的正確，將會使得許多研究的假設性結果變為確定性結果。

張益唐本人則表示，目前的研究成果只是在小范圍內證明朗道-西格爾零點猜想是對的，即該零點確實不存在。但研究還需進一步完善，下一步他將繼續深化對于朗道-西格爾零點猜想的研究。

標簽： 朗道-西格爾零點猜想